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等角螺线

等角螺线对数螺线生长螺线是在自然界常见的螺线,在极坐标系中,这个曲线可以写为

因此叫做“对数”螺线。

定理

  • 等角螺线的臂的距离几何级数递增。
  • 为穿过原点的任意直线,则与等角螺线的相交的永远相等(故其名),而此值为
  • 为以原点圆心的任意,则与等角螺线的相交的永远相等,而此值为,名为“倾斜度”
  • 等角螺线是自我相似的;这即是说,等角螺线经放大后可与原图完全相同。
  • 等角螺线的渐屈线垂足曲线都是等角螺线。
  • 从原点到等角螺线的任意点上的长度有限,但由那点出发沿等角螺线走到原点却需绕原点转无限次。这是由托里拆利发现的。

历史

雅各布·伯努利的墓碑,下方即为雕刻师误刻的阿基米德螺线。

等角螺线是由笛卡儿在1638年发现的。雅各布·伯努利后来重新研究之。他发现了等角螺线的许多特性,如等角螺线经过各种适当的变换之后仍是等角螺线。他十分惊叹和欣赏这曲线的特性,故要求死后将之刻在自己的墓碑上,并附词“纵使改变,依然故我”(eadem mutata resurgo)。但雕刻师误将阿基米德螺线(等速螺线)刻了上去。

自然现象

鹦鹉螺的贝壳像等角螺线
旋涡星系的旋臂像等角螺线
低气压的外观像等角螺线

构造等角螺线

  • 复平面上定义一个复数,其中,那么连结的曲线就是一条等角螺线。
复平面上的等角螺线
  • 是复平面中的一条直线且不平行于实数或虚数轴,那么指数函数会将这些直线映像到以 0 为中心的等角螺线。
  • 使用黄金矩形
黄金长方形中的等角螺线
  • 在平面上, 质点围绕原点逐渐离开, 相对于原点的角速度恒定, 且相对于原点的距离以等比例增长, 则其轨迹为等角螺线。这是因为,则有

参见

引用

外部链接


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