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结合代数

数学里,结合代数是指一向量空间(或更一般地,一),其允许向量有具分配律结合律的乘法。因此,它为一特殊的代数。结合代数,是一种代数系统,类似于群、环、域,而更接近于环。仿照由实数来构造复数的方法,可用复数来构造新的数。

定义

一于K上的结合代数A的定义为一于K上的向量空间,其K-双线性映射A × AA 具有结合律:

  • 对任何于A内的xyz,(x y) z = x (y z)。

此乘法的双线性性质可表示成

  • 对任何于A内的xyz,满足结合律: (x + y) z = x z + y z
  • 对任何于A内的xy及于Ka,满足分配律: x (y + z) = x y + x z
  • 对任何于A内的xy及于K内的a,满足结合律 a (x y) = (a x) y = x (a y)。

A含有单位元,即元素1使得对任一于A内的x,1x = x1 = x,则称A具一的结合代数单作结合代数。 此一代数为一个,且包含所以体K内的元素a,由a1相连接。

上述的定义没有任何改变地广义化成了于可交换环K上的代数(除了K-线性空间被称做而非向量空间之外)。详述请见代数 (环论)

于一体K上的结合代数A维度为其K-向量空间的维度。

例子

  • 其元素为体Kn×n方阵形成了一于K上的单作结合代数。
  • 复数形成了于实数上的二维单作结合代数。
  • 四元数形成了于实数上的四维单作结合代数(但不为一复数上的代数,因为复数和四元数不可交换)。
  • 实系数多项式形成了一于实数上的单作结合代数。
  • 给定一巴拿赫空间X,其连续线性算子 A : nX形成了一单作结合代数(以算子复合做为乘法);事实上,这是一个巴拿赫代数。
  • 给定一拓扑空间X,于X上的连续实(复)值函数形成了一单作结合代数;这里,加法和乘法是对函数的各点相加和相乘。
  • 一非单作的结合代数为所有x趋向无限时的极限为零的函数f: RR所组成的集合。
  • 克里福代数也是结合代数的一种,在几何物理上都很有用。
  • 局部有限偏序集合的相交代数为一组合数学内的单作结合代数。

代数同态

AB为体K上的结合代数,代数同态 h: AB则是一K-线性映射,其对任何于A内的xy,会有h(xy) = h(x) h(y)的关系。加上态射的概念,于K上的结合代数组成的类便成了一范畴

举个例子,设A为所有实值连续函数RR所组成的代数,及B=R,这两者都是于R上的代数,且其每一连续函数f指定至数字f(0)的映射会是个由AB的代数同态。

免指标标记法

前面所述之结合代数的定义,其结合律的定义是对A的所有元素而定的。但有时不涉及A内元素的结合律定义会较方便。 这可以由下列方法作到。一定义成在一向量空间A内映射M的代数:

其为结合代数当M有下面性质:

其中,符号表示函数的复合,而Id则为恒等函数:对所有于A内的x。要了解其定义是等价的,只需要知道上述式子的两边都是三个引数的函数。例如,式子左边为

类似地,一单作结合代数可以以单位映射来定义,其性质如下:

其中,单位映射η将K内的元素k映射至A内的元素k1,这里1A单位元。映射s只是个标量乘积:

广义化

共代数

表示

参考


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