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群同态本文重定向自 群同态

(左)到(右)的群同态()的像。在内的椭圆形是的像。的核而陪集
群论
Rubik's cube.svg

数学中,给定两个,从 群同态函数使得对于所有中的下述等式成立

在这里,等号左侧的群运算,是中的运算;而右侧的运算中的运算。

从这个性质,可推导出的单位元映射到的单位元,并且它还在的意义上映射逆元到逆元。因此我们可以说“兼容于群结构”。

过去同态常用来表示,它容易混淆于索引或一般下标。更新近的倾向是把群同态写在它们的自变量的右侧,省略括号,如此简化成了。这种方法因为其更适应自动机从左至右读字的习惯从而在某些广泛应用自动机理论的群论中颇为流行。

在考虑有额外的结构的群的数学领域中,同态不仅要满足上述的群结构,还要满足额外的结构。比如拓扑群的同态经常要求是连续的。

像与核

我们定义被映射到中单位元上的中元素的集合

定义

核是正规子群(事实上,),而像则是子群。同态单射(并叫做单同态)当且仅当

同态的核和可以被解释为对它接近于同构的程度。第一同构定理说明了群同态的同构于商群

例子

  • 考虑带有加法的循环群和整数集的群。映射,有 以3,是群同态。它是满射并且它的核由被三整除的所有整数构成。
  • 指数映射产生从带有加法的实数的群到带有乘法的非零实数集的群的群同态。核是而像由正实数组成。
  • 指数映射还产生从带有加法的复数的群到带有乘法的非零复数集的群的同态。这个映射是满射并且有核,这可以从欧拉公式得出。
  • 给定任何两个群,映射,把所有的元素对应到的单位元,是同态;它的核是集合
  • 给定任何群,恒等映射定义为对于中所有的。恒等映射是群同态。

群范畴

如果是群同态,则也是群同态。这证明所有群构成的类,和态射即群同态,一起构成一个范畴

同态映射的类型

如果同态双射,则你还可以证明它的逆映射仍是同态,这种叫做群同构;在这种情况下,群被称为是“同构的”:它们只在元素的符号上有差异而对于所有实践用途都是同一的。

如果是群同态,我们称之为自同态。如果它进一步的是双射并且因此是同构,则称为自同构。群的所有自同构的集合,带有函数复合作为运算,自身形成一个群,叫做的自同构群,记为。例如说,的自同构群只有两个元素,恒等变换和乘以;它同构于

满同态满射的同态,单同态单射的同态。

阿贝尔群的同态

如果阿贝尔群(就是交换群),则所有从的群同态的集合自身是阿贝尔群:两个同态的和定义为

对于所有

的交换律对于证明也是群同态是必需的。同态的加法在如下意义上兼容于同态的复合:如果中,, 的元素,并且中,则

,并且

这证明了一个阿贝尔群的所有自同态的集合形成了一个,即的自同态环。例如,由两个直积构成的阿贝尔群(克莱因四元群)的自同态群同构于带有内元素的 矩阵的环。上述兼容性还证明所有阿贝尔群带有群同态的范畴形成了预加法范畴;存在直积和良定义的核使这个范畴成为阿贝尔范畴的原型。


参见

引用

  • Lang, Serge, Algebra, Graduate Texts in Mathematics 211 3rd, Springer-Verlag, 2002.

外部链接


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