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考克斯特群

数学中,考克斯特群是一类由空间中对超平面的镜射生成的。这类群广泛出现于数学的各分支中,二面体群与正多胞体的对称群都是例子;此外,根系对应到的外尔群也是考克斯特群。这类群以数学家哈罗德·斯科特·麦克唐纳·考克斯特命名。

形式定义

所谓考克斯特群,是一个群 写成如下的表达式,即由满足一些交互关系的生成元生成的群

其中 满足 以及 对所有 。在此 意指 恒不等于单位元。

注意到 ;若 ,则 。且 m 满足对称性

令这组生成元为 。资料 称为考克斯特群。方阵 称为考克斯特矩阵

性质

有限考克斯特群的分类

为考克斯特群,可证明存在一个有限维实矢量空间 及其上的非退化双线性形 (未必正定),使得 同构于正交群 的某个子群。由于 的元素均为二阶,可视之为 中对某些超平面的镜射。

利用 的展示,定义元素的长度如下:对 ,定义其长度 为所有表法 中最短的 。由此可导出

例子

  • 对称群 是考克斯特群。在此可取 为置换 ;关系为
  • 正多胞体的对称:正多胞体的对称群是有限考克斯特群。举例明之:正多边形的对称群是二面体群,正 n 维单形的对称群是前述的 ,又称为 型的考克斯特群。n 维超正方体的对称群为 正十二面体正二十面体的对称群是 。在四维空间中,存在三种特别的正多胞体──正二十四胞体正一百二十胞体正六百胞体,其对称群分别是 可以由某些半正多胞体的对称群得到。
  • 外尔群:每个根系的外尔群都是有限考克斯特群。
  • 仿射外尔群:仿射外尔群是无限群,但带有一个正则阿贝尔子群,使得对应的商群是个外尔群。

分类

一般而言,两个群展示的同构与否是无法判定的。然而对考克斯特群则有一个简单的判准,称为交换条件。可以透过考克斯特-丹金图分类有限考克斯特群。图的构造方式为:

  1. 每个生成元对应到一个顶点。
  2. ,则顶点 之间有边相连。
  3. ,则将边标上

文献

  • Larry C Grove and Clark T. Benson, Finite Reflection Groups (1985), Graduate texts in mathematics, vol. 99, Springer.
  • Paul Garrett, Buildings and Classical Groups (1997), Chapman Hall. ISBN 0-412-06331-X . PostScript 档案下载 .
  • James E. Humphreys, Reflection Groups and Coxeter Groups (1990), Cambridge studies in advanced mathematics, 29.

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