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自由群

由两个元素a, b 生成的自由群的凯莱图

数学中,一个 被称作自由群,如果存在 的子集 使得 的任何元素都能唯一地表成由 中元素及其逆元组成之乘积(在此不论平庸的表法,例如 之类);此时也称 为集合 上的自由群,其群结构决定于集合 ,记为 称作一组基底。按照范畴论的观点,自由群也可以抽象地理解为群范畴中的自由对象

一个相关但略有不同的概念是自由阿贝尔群英语free abelian group

历史

在1882年,Walther Dyck 在发表于 Mathematische Annalen 的论文 Gruppentheoretische Studien 中研究了自由群的概念,但未加以命名。“自由群”一词由 Jakob Nielsen 于1924年引入。

例子

2个圆环的集束
  • 整数的加法群 是自由群;事实上我们可取
  • 巴拿赫-塔斯基悖论的论证中用到两个生成元的自由群,以下将予说明。
  • 代数拓扑学中, 个圆环的集束(即: 个只交于一点的圆环,见右图)的基本群 个生成元的自由群。

建构方式

今将构造集合 上之自由群 ,分解动作如下。

  1. 对任何 ,引入符号 ,称作 的逆元。
  2. 考虑所有由符号 构成的有限字串
  3. 如果一个字串能透过将 替换为空字串而变为另一个字串,则称这两个字串等价;此关系在所有上述字串构成的集合上生成一等价关系,其商集(等价类构成的集合)记作
  4. 我们可以借着对字串长度作数学归纳法,证明此等价关系相容于字串的接合,即:。故字串接合在 导出二元运算,并满足交换律。
  5. 及字串接合运算构成一个群,字串 之逆为 。此即所求。

为空集,则 为平凡群。

泛性质

上述构造 带有一个自然的集合映射 。这对资料 满足以下泛性质

为群, 为集合间的映射,则存在唯一的群同态 使得

事实上我们仅须,也必须设 ;前述构造确保此式给出一个明确定义的群同态。

任两个满足上述泛性质的资料 至多差一个同构,因而刻划了自由群的群论性质。这种泛性质是泛代数中考虑的自由对象的特例,用范畴论的语言来说,函子 遗忘函子的左伴随函子

性质与定理

  • 任何群 皆可表为某个自由群的同态像;在上述泛性质中取 的一组生成集,ψ 为包含映射即可。此时 的核 称作关系 称作 的一个展示;若 有限,则称之为有限展示。一个群可以有多种展示,而且不存在判断两个展示给出的群是否同构的算法
  • 如果 有超过一个元素,则 非交换;事实上 中心只有单位元。
  • 任两个自由群 同构的充要条件是 基数相同,此基数称作自由群的

以下是一些相关定理:

  • Jakob Nielsen 与 Otto Schreirer 的定理:自由群的子群也是自由群。若 阶,,则 阶(在此设 有限)。
  • 为超过一阶的自由群;则对任意可数基数 中都存在 阶的自由子群。

自由群虽然看似是离散的对象,却可藉微分几何拓扑学工具研究,上述 Nielsen-Schreirer 定理就是一例(可运用同伦上纤维的构造证明);这套技术属于几何群论的一支。

自由阿贝尔群

将上述泛性质中的“群”替换成“阿贝尔群”,遂得到自由阿贝尔群的泛性质。集合 上的自由阿贝尔群可视为自由 -来构造,或取作 的“交换化”: (换言之,在考虑字串时不计符号顺序)。

塔斯基的问题

塔斯基在1945年左右提出下述问题:

两个以上生成元的自由群是否有相同的一阶理论?此理论是否可判定

目前已有两个团队独立给出肯定的答案,但双方的证明都尚未被认可。请参见网址 [1] 的“O8”。

文献

  • Kharlampovich, Olga; Myasnikov, Alexei, Elementary theory of free non-abelian groups, J. Algebra, 2006, 302 (2): 451–552, doi:10.1016/j.jalgebra.2006.03.033, 数学评论2293770
  • W. Magnus, A. Karrass and D. Solitar, "Combinatorial Group Theory", Dover (1976).
  • Sela, Z., Diophantine geometry over groups. VI. The elementary theory of a free group., Geom. Funct. Anal. 16, 2006, (3): 707–730, 数学评论2238945
  • J.-P. Serre, Trees, Springer (2003) (English translation of "arbres, amalgames, SL2", 3rd edition, astérisque 46 (1983))

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