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调和分析

光的调和分析。图中是红光和其他波长光线的相互作用。若波长差为λ/2(半波长),红光完全的和二次谐波紫光同相位。图中所有其他的光和红光的波长差都小于λ/2,因此合成波中会出现谐波振荡。若波长差是λ/14,每14个周期都会出现一次振荡。若波长差是λ/8,每8个周期都会出现一次振荡。振荡在λ/4波长差时最为频繁,每4个周期出现一次振荡,若波长差为λ/3,每7个周期出现一次振荡。若波长差为λ/2.5,每13个周期出现一次振荡。

调和分析(Harmonic analysis)也称为谐波分析,是数学中的一个分支,是由基本叠加来表示其他函数或是信号,并且研究及扩展傅里叶级数傅里叶变换(也是傅里叶分析的扩展)。自十九世纪以来,调和分析已用在许多的领域中,像是信号处理量子力学潮汐理论英语Theory of tides神经科学

Rn以下的经典傅里叶变换目前仍然是一个正在研究的领域,特别是将傅里叶变换应用在一些较广义的概念下,例如缓增广义函数(tempered distribution)。例如若在某一分布f上加上一些条件,也会试图将此条件转换到f的傅里叶变换上。培力-威纳定理英语Paley–Wiener theorem即为此例。培力-威纳定理指出若f是一个紧支撑下的非零分布(这里包括紧支撑下的函数),则其傅里叶变换一定不会是紧支撑。这是调和分析不确定性原理的一个基本形式。

调和分析中的调和(harmonic,或称为谐波)起源自古希腊文harmonikos,意思是“有音乐上的技巧”。在物理的特征值问题中,开始用harmonic一词表示某些特定的波,其频率是其他波频率的整数倍,就像泛音列的频率是第一泛音的整数倍一様,后来这个词也渐渐扩展,超过原来的意思。

傅里叶级数也常用希尔伯特空间的方式来进行研究,因此调和分析和泛函分析也有一些关系。

抽象调和分析

调和分析中最现代的一个分支,是在二十世纪中出现的,是对拓扑群分析。其核心概念是许多不同的傅里叶变换,可以扩展为定义在豪斯多夫局部紧致群英语locally compact group上的函数变换。

阿贝尔局部紧致群英语locally compact group的调和分析称为庞特里亚金对偶性

调和分析研究对偶性和傅里叶变换的性质,设法将其性质延伸到不同的情形下(例如非阿贝尔的李群)。

对于一般性非阿贝尔的局部紧致群,调和分析和幺正表现理论有密切关系。若是紧致群,彼得-魏尔定理可以解释在每一个等价表现中,要如何选择不可约表现来得到调和函数。调和函数的选择可以用到一些传统傅里叶变换的特性,例如用单点的乘积来进行卷积,或是对于其底层的结构有更多的认识。可参考非交换调和分析英语Non-commutative harmonic analysis

若此群不是阿贝尔群,也不是紧致群,目前还没有找到令人满意(至少要像普兰切雷尔定理英语Plancherel theorem一样有力)的理论。不过目前已分析了许多特例,例如SLn英语Special linear group。在此例中,无限维度群表示论扮演了重要角色。

其他分支

相关条目

参考资料

  1. ^ 存档副本. [2017-01-07]. (原始内容存档于2017-03-14).
  2. ^ Terras, Audrey. Harmonic Analysis on Symmetric Spaces-Euclidean Space, the Sphere, and the Poincaré Upper Half-Plane 2nd. New York, NY: Springer. 2013: 37 [12 December 2017]. ISBN 978-1461479710.

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