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超椭圆本文重定向自 超橢圓

(重定向自拉梅曲线)
n = 0.5,a = b = 1的超椭圆
n = 1.5,a = b = 1的超椭圆
n = 4,a = b = 1的超椭圆,也称为方圆形(Squircle)

超椭圆superellipse)也称为拉梅曲线Lamé curve),是在笛卡儿坐标系下满足以下方程式的点的集合:

其中nab为正数。

上述方程式的解会是一个在−ax ≤ +a及−b ≤ y ≤ +b长方形内的封闭曲线,参数ab称为曲线的半直径semi-diameters)。

n在0和1之间时,超椭圆的图形类似一个曲线的四角星,四边的曲线往内凹。

n为1时,超椭圆的图形为一菱形,四个顶点为(±a, 0)及(0, ±b)。n在1和2之间时,超椭圆的图形类似菱形,四个顶点位置相同,但四边是往外的曲线,越接近顶点,曲线的曲率越大,顶点的曲率趋近无限大。

n为2时,超椭圆的图形即为椭圆(若a = b时则为一个圆形)。当n大于2时,超椭圆的图形看似四角有圆角英语Chamfer长方形,曲线的曲率在(±a, 0)及(0, ±b)四点为0。n为4的超椭圆也称为方圆形

n < 2的超椭圆也称为次椭圆hypoellipse),n > 2的超椭圆则称为过椭圆hyperellipse)。

n ≥ 1,且a = b=1时的超椭圆是二维Lp空间下的单位圆,n即为其p-范数。

超椭圆的极点为(±a, 0)及(0, ±b),而其四个“角”为(±sa, ±sb),其中

数学性质

n为一个非零的有理数p/q(最简分数形式),则超椭圆为一平面代数曲线。若n为正数,其曲线次数为pq,若n为负数,其曲线次数为2pq。若ab均为1且n为偶数,则此超椭圆为一n次的费马曲线英语Fermat curve,此时超椭圆没有奇点,但一般而言超椭圆中会有有奇点。

超椭圆的动画

超椭圆的参数方程如下:

超椭圆内的面积可以用Γ函数Γ(x)来表示:

=

垂足曲线较容易计算,而以下曲线的垂足曲线

可以用极坐标方式来表示:

延伸

广义的超椭圆,m ≠ n.

超椭圆可以延伸为以下的形式:

其中的不是表示角度,只是方程式的一个参数。

历史

超椭圆在笛卡儿坐标系下的表示式是由1795年出生的法国数学家加布里埃尔·拉梅,由椭圆的方程式扩展而得。

Zapf's Melior字体的'o'及'O'的轮廓可以用n = log(1/2) / log (7/9) ≈ 2.758的超椭圆来表示

字体设计师赫尔曼·察普夫在1952年设计的Melior英语Melior字体,利用超椭圆作为字母o的外形。三十年后高德纳设法选择了介于椭圆及超椭圆之间的曲线(两者都用样条函数近似),作为他的Computer Modern字体。

1959年时瑞典斯德哥尔摩提出了其市中心赛格尔广场圆环的设计竞赛。丹麦诗人皮亚特·海恩(1905–1996)的设计以是一个n = 2.5,a/b = 6/5的超椭圆为基础。他的说明如下:

人是唯一一种会画线然后将自己绊倒的动物。整个文明的推进有二个不同的取向:一种以直线及长方形为主,另一种则圆弧线为主。二种取向都有其机构上及心理上的原因。直线的事物可以放在一起,节省空间。而圆的东西很简单,容易移动。但我们常常会陷入要在二者中选择一个的困境,此时往往是介于二者中间的事物会更合适。随意绘制的作品-例如以往在斯德哥尔摩出现过的圆环-无法达到这一点。它不是一个固定的形状,也不像圆或方形有明确的定义,在美感上有所不足。超椭圆解决了这一个问题,它介于圆和长方形之间,既不是圆也不是长方形。它是一个有固定形状、有明确定义的一个整体。

赛格尔广场在1967年完成,而皮亚特·海恩继续在其他的艺术品中使用超椭圆,包括床、碟子、桌子等。皮亚特·海恩将超椭圆以长轴为轴心旋转,形成了一个立体的超级蛋英语superegg,其特点是可以平面上直立,不会倒下,因此变成一个特别的玩具。

1968年在巴黎在为越战谈判时,谈判者不满意谈判桌的外形,Balinski、Kieron Underwood及Holt在一封寄给纽约时报的信件中建议以超椭圆作为谈判桌的外形。1968年由墨西哥城主办奥运时,也以超椭圆为阿兹特克体育场的外形。

托布勒英语Waldo R. Tobler在1973年提出了托布勒超椭圆投影英语Tobler hyperelliptical projection,其中的经线就是用超椭圆来表示。

美式足球球队匹兹堡钢人的标志是三个相连的超椭圆。

相关条目

参考资料

  1. ^ J. Edwards. Differential Calculus. London: MacMillan and Co. 1892: 164.
  2. ^ 2.0 2.1 Gardner, Martin, Piet Hein’s Superellipse, Mathematical Carnival. A New Round-Up of Tantalizers and Puzzles from Scientific American, New York: Vintage Press: 240–254, 1977, ISBN 978-0-394-72349-5
  3. ^ The Superellipse, in The Guide to Life, The Universe and Everything by BBC (27th June 2003)
  4. ^ Tobler, Waldo, The hyperelliptical and other new pseudocylindrical equal area map projections, Journal of Geophysical Research, 1973, 78 (11): 1753–1759, Bibcode:1973JGR....78.1753T, doi:10.1029/JB078i011p01753.

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