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群作用本文重定向自 轨道 (群论)

给定一个等边三角形,通过把所有顶点映射到另一个顶点,绕三角形中心逆时针 120°旋转“作用”在这个三角形的顶点的集合上。

数学上,对称群描述物体的所有对称性。这是通过群作用的概念来形式化的:的每个元素作为一个双射(或者对称作用)作用在某个集合上。在这个情况下,群称为置换群(特别是在群有限或者不是线性空间时)或者变换群(特别是当这个集合是线性空间而群作为线性变换作用在集合上时)。一个群G的置换表示是群作为一个集合的置换群的群表示(通常该集合有限),并且可以表述为置换矩阵,一般在有限的情形作此考虑-这和作用在有序的线性空间基上是一样的。

定义

为一个为一个集合,则上的一个(左) 群作用是一个二元函数

(其中的像写作),满足如下两条公理:

  1. 对于所有 成立
  2. 对于每个成立 (代表幺元)

从这两条公理,可以得出对于每个,映射的函数是一个双射,从映射到。因此,也可以将上的群作用定义为从对称群群同态

若群作用给定,我们称“G作用于集合X”或者X是一个G-集合

完全一样地,可以定义一个GX上的右群作用为函数,满足以下公理:

注意左和右作用的区别仅在于象gh这样的积在x上作用的次序。对于左作用h先作用然后是g,而对于右作用g先作用然后是h。从一个右作用可以构造一个左作用,只要和群上的逆操作复合就可以了。如果r为一右作用,则

是一左作用,因为

所以在这里,我们只考虑左群作用,因为右作用可以相应推理。

群作用的种类

群G作用在集合X上的作用称为:

  • 传递性(Transitive):
    如果X是一个非空集合,对于每对数对 x,y X,则存在一个gG,使得,我们就称此作用为传递性
  • 忠实性(Faithful):
    如果群G嵌入(embbeding)到X的置换群中,我们就称此作用为忠实的。换言之,就是则群G到X的置换群之中为单射。
  • 自由性(Free):
    如果给定 ,存在,则有着,则称为此作用为自由性。
  • 正则的(Regular):
    同时具有自由性以及传递性的作用称为正则的
  • n-传递性(n-transitive):
    如果集合X 至少有 n 个元素, 对所有不同的元素x1, ..., xn 和所有不同的y1, ..., yn, 存在一个 g 在群G 使得 gxk = yk 对所有 1 ≤ kn ,我们就称其为n-传递性
  • 主要的(Primitive):
    如果传递性作用满足只有trivial区块(block),那我们称此作用为主要的。可以证明n-传递性皆为主要的。

轨道与稳定化子

轨道

的一个元素,且群上有着一个作用,那么的轨道就是指以下列方式定义的的子集:

的两个轨道,要不彼此相等,要不然其交集就是空集合。这是因为假如两个轨道有一个共通元素,那么就可以找到两个中的元素,使得,同时有,反之亦可推出,而这使得这两个集合所有的元素都相等。

一个轨道的例子是陪集,假若的一个子集,且定义中元素的惯常运算规则为上的一个作用,那么的陪集()就是的轨道。

不变子集

若S是X的一个子集,群G作用在X上( X 被称作G-set),对于群G中的所有元素 g,以及所有S中的元素 x,有着

则我们会说 S在G的作用下是封闭的,或是说,S在G作用下是不变的

不动点与稳定子群

的一个元素,对于群中的所有元素而言,都有,那么就称-不变的(-invariant)。

另外若的一个元素,则所有使得中的元素构成的集合又称对于的稳定子群(stabilizer subgroup of with respect to ),一般常常将之记作(注意:不要将之与上面轨道的符号混淆)。

的一个子群,因为根据定义,因此的单位元属于,且假若,那么的逆元也是的元素,因为

轨道-稳定点定理 与Burnside's 引理

考虑一个映射 可以证明此映射是一个双射的函数,而这个映射的结论就是所谓的 轨道-稳定点定理

而一个跟轨道-稳定点定理相似的结果就是Burnside's 引理,

西罗定理

详情请看 西罗定理

范例

  • 任意群G在任意集合X上的平凡的群作用定义为 gx = x 对任意g属于G以及任意x属于X;换句话说,每个群元素对应 X上的恒等置换


  1. ^ Stephen Lovett, Abstract Algebra: Structures and Applications. ISBN 1482248905. 缺少或|title=为空 (帮助)
  2. ^ Eie & Chang. A Course on Abstract Algebra. 2010: 145.

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