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转置矩阵本文重定向自 转置矩阵

线性代数

向量 向量空间 行列式 矩阵

矩阵A的转置AT的取得方法。重复以上动作会得出原本的矩阵

线性代数中,矩阵A转置(英语:transpose)是另一个矩阵AT(也写做Atr, tAA′)由下列等价动作建立:

  • A的横行写为AT的纵列
  • A的纵列写为AT的横行

形式上说,m × n矩阵A的转置是n × m矩阵

for

注意:(转置矩阵)与逆矩阵)不同。

例子

性质

对于矩阵A, B和标量c转置有下列性质:

  • 转置是自身逆运算
  • 转置是从m × n矩阵的向量空间到所有n × m矩阵的向量空间的线性映射
  • 注意因子反转的次序。以此可推出方块矩阵A可逆矩阵,当且仅当AT是可逆矩阵,在这种情况下有 (A−1)T = (AT)−1。相对容易的把这个结果扩展到矩阵相乘的一般情况,可得出 (ABC...XYZ)T = ZTYTXT...CTBTAT
  • 标量的转置是同样的标量。
  • 矩阵的转置矩阵的行列式等于这个矩阵的行列式。
  • 两个纵列向量ab点积可计算为
  • 如果A只有实数元素,则ATA正半定矩阵
  • 如果A是在某个上,则A 相似AT

特殊转置矩阵

其转置等于自身的方块矩阵叫做对称矩阵;就是说A是对称的,如果

其转置也是它的逆矩阵的方块矩阵叫做正交矩阵;就是说G是正交的,如果

I单位矩阵

其转置等于它的负矩阵的方块矩阵叫做斜对称矩阵;就是A是斜对称的,如果

复数矩阵A共轭转置,写为AH,是A的转置后再取每个元素的共轭复数:

线性映射的转置

如果f: VW是在向量空间V和W之间非退化双线性形式线性映射,我们定义f的转置为线性映射tf : WV,确定自

这里的,BVBW分别是在VW上的双线性形式。一个映射的转置的矩阵是转置矩阵,只要是关于它们的双线性形式是正交的。

在复向量空间上,经常用到半双线性形式来替代双线性形式。在这种空间之间的映射的转置可类似的定义,转置映射的矩阵由共轭转置矩阵给出,如果基是正交的。在这种情况下,转置也叫做埃尔米特伴随

如果VW没有双线性形式,则线性映射f: VW的转置只能定义为在对偶空间WV之间的线性映射 tf : W*V*

外部链接


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