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逆威沙特分布

逆威沙特分布
参数 自由度 (实数)
尺度矩阵 (正定)
值域是正定的
概率密度函数
期望值
众数:406


逆威沙特分布,也叫反威沙特分布作是统计学中出现的一类概率分布函数,定义在实值正定矩阵上。在贝叶斯统计中,逆威沙特分布会用作多变量正态分布协方差矩阵的共轭先验分布。 如果一个正定矩阵 逆矩阵 遵从威沙特分布 的话,那么就说矩阵 遵从逆威沙特分布:

概率密度函数

逆威沙特分布的概率密度函数是:

其中 都是 正定矩阵,而Γp(·) 则是多变量伽马分布英语Multivariate gamma function。函数

指的是函数。

相关定理

威沙特分布矩阵之逆的概率分布

设矩阵 并且 的矩阵,那么 遵从逆威沙特分布:。它的概率密度函数是:

其中 ,而 是多变量伽马分布。

威沙特分布矩阵之逆的边际与条件分布

设矩阵 遵从逆威沙特分布。并且假设矩阵 都有相适合的分块矩阵表示方式:

其中子矩阵 的矩阵,那么会有:

甲) 相互独立,其中 是子矩阵 中的舒尔补

乙) ;

丙) ,其中 矩阵正态分布

丁)

共轭分布

假设要求先验分布 为逆威沙特分布 的协方差矩阵。如果观测值 是从互相独立的 p-变量正态分布 的随机变量得到的,那么条件分布 遵从的是逆威沙特分布:。其中 是样本协方差矩阵的倍。

因此,逆威沙特矩阵是多变量正态分布的共轭先验分布。

矩相关特性

期望值::85

矩阵 的每一个系数的方差:

对角系数的方差是在上式中令 得到,化简后变成:

相关分布

当变量数目减到一个的时候,逆威沙特分布会变成特例:逆伽马分布英语Inverse-gamma distribution。也就是说,当 以及 的时候,逆威沙特分布的概率密度函数是:


这正是逆伽马分布。其中 是通常的伽马函数


而逆威沙特分布也有推广,其中一个是正态逆威沙特分布英语Normal-inverse-Wishart distribution

参见

参考来源

  1. ^ A. O'Hagan, and J. J. Forster. Kendall's Advanced Theory of Statistics: Bayesian Inference 2B 2. Arnold. 2004. ISBN 0-340-80752-0.
  2. ^ 2.0 2.1 Kanti V. Mardia, J. T. Kent and J. M. Bibby. Multivariate Analysis. Academic Press. 1979. ISBN 0-12-471250-9.

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