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逻辑运算符本文重定向自 邏輯聯結詞

形式逻辑中,逻辑运算符逻辑联结词把语句连接成更复杂的复杂语句。例如,假设有两个逻辑命题,分别是“正在下雨”和“我在屋里”,我们可以将它们组成复杂命题“正在下雨,并且我在屋里”或“没有正在下雨”或“如果正在下雨,那么我在屋里”。一个将两个语句组成的新的语句或命题叫做复合语句复合命题。又称逻辑操作符(Logical Operators)。

基本运算符

基本的操作符有:“”(¬)、“”(∧)、“”(∨)、“条件”(→)以及“双条件”(↔)。“非”是一个一元操作符,它只操作一项(¬ P)。剩下的是二元操作符,操作两项来组成复杂语句(P ∧ Q, P ∨ Q, P → Q, P ↔ Q)。

注意,符号“与”(∧)和交集(∩),“或”(∨)和并集(∪)的相似性。这不是巧合:交集的定义使用“与”,并集的定义是用“或”。

这些连接符的真值表:

P Q ¬P PQ PQ PQ PQ
T T F T T T T
T F F F T F F
F T T F T T F
F F T F F T T

为了减少需要的括号的数量,有以下的优先规则:¬高于∧,∧高于∨,∨高于→。例如,P ∨ Q ∧ ¬ R → S是 (P ∨ (Q ∧ (¬ R)) → S的简便写法。

二元逻辑联结词表

下面是在输入P和Q上的16个二元布尔函数

永假
符号 等价公式 真值表 文氏图
P ¬P
  Q
0 1
P 0    0   0 
1    0   0 
Venn0000.svg




永真
符号 等价公式 真值表 文氏图
P ¬P
  Q
0 1
P 0    1   1 
1    1   1 
Venn1111.svg




合取
符号 等价公式 真值表 文氏图
P Q
P & Q
P · Q
P AND Q
P ¬Q
¬P Q
¬P ¬Q
  Q
0 1
P 0    0   0 
1    0   1 
Venn0001.svg




与非
符号 等价公式 真值表 文氏图
PQ
P | Q
P NAND Q
P → ¬Q
¬PQ
¬P ∨ ¬Q
  Q
0 1
P 0    1   1 
1    1   0 
Venn1110.svg




非蕴涵
符号 等价公式 真值表 文氏图
P Q
P Q
P & ¬Q
¬PQ
¬P ¬Q
  Q
0 1
P 0    0   0 
1    1   0 
Venn0100.svg




蕴涵
符号 等价公式 真值表 文氏图
PQ
P Q
P ↑ ¬Q
¬PQ
¬P ← ¬Q
  Q
0 1
P 0    1   1 
1    0   1 
Venn1011.svg




命题P
符号 等价公式 真值表 文氏图
P
  Q
0 1
P 0    0   0 
1    1   1 
Venn0101.svg




非P
符号 等价公式 真值表 文氏图
¬P
~P
  Q
0 1
P 0    1   1 
1    0   0 
Venn1010.svg




反非蕴涵
符号 等价公式 真值表 文氏图
P Q
P Q
P ↓ ¬Q
¬P & Q
¬P ¬Q
  Q
0 1
P 0    0   1 
1    0   0 
Venn0010.svg




反蕴涵
符号 等价公式 真值表 文氏图
P Q
P Q
P ∨ ¬Q
¬PQ
¬P → ¬Q
  Q
0 1
P 0    1   0 
1    1   1 
Venn1101.svg




命题Q
符号 等价公式 真值表 文氏图
Q
  Q
0 1
P 0    0   1 
1    0   1 
Venn0011.svg




非Q
符号 等价公式 真值表 文氏图
¬Q
~Q
  Q
0 1
P 0    1   0 
1    1   0 
Venn1100.svg




异或
符号 等价公式 真值表 文氏图
P Q
P Q
P Q
P XOR Q
P ↔ ¬Q
¬PQ
¬P ¬Q
  Q
0 1
P 0    0   1 
1    1   0 
Venn0110.svg




双条件
符号 等价公式 真值表 文氏图
PQ
PQ
P XNOR Q
P IFF Q
P ¬Q
¬P Q
¬P ↔ ¬Q
  Q
0 1
P 0    1   0 
1    0   1 
Venn1001.svg




析取
符号 等价公式 真值表 文氏图
PQ
P  Q
P OR Q
P ¬Q
¬PQ
¬P ↑ ¬Q
  Q
0 1
P 0    0   1 
1    1   1 
Venn0111.svg




或非
符号 等价公式 真值表 文氏图
PQ
P NOR Q
P ¬Q
¬P Q
¬P ∧ ¬Q
  Q
0 1
P 0    1   0 
1    0   0 
Venn1000.svg




图示

真值表 哈斯图
input Ainput Boutput f(A,B)X and ¬XA and B¬A and BBA and ¬BAA xor BA or B¬A and ¬BA xnor B¬A¬A or B¬BA or ¬B¬A or ¬BX or ¬XLogical connectives table.svg
X or ¬X¬A or ¬BA or ¬B¬A or BA or B¬B¬AA xor BA xnor BAB¬A and ¬BA and ¬B¬A and BA and BX and ¬XLogical connectives Hasse diagram.svg

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