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锥台

锥台
Pentagonal frustum.svgUsech kvadrat piramid.png[[Image:|240px|锥台]]

例如:五角锥台与四角锥台
类别锥台
对偶多面体不对称双锥体
性质
顶点
欧拉特征数F=, E=, V= (χ=2)
组成与布局
面的种类n梯形, 2 个n边形
对称性
对称群Cnv, [1,n], (*nn)
特性
凸多面体
图像
立体图
Dual of pentagonale frustum.png
不对称双锥体
(对偶多面体)
Net of pentagonale frustum.png
(展开图)
注:为底面边数 。

棱台几何学中研究的一类多面体,指一个棱锥平行于它的底面的一个平面所截后,截面与底面之间的几何形体。截面也称为棱台的上底面,原来棱锥的底面称为下底面。随着棱锥形状不同,棱台的称呼也不相同,依底面多边形而定,例如底面是正方形的棱台称为方棱台,底面为三角形的棱台称为三棱台,底面为五边形的棱台称为五棱台等等。棱台是平截头体的一类,也是更广义的拟柱体的一种。根据所截的是圆锥还是棱锥,可分为圆台棱台

从棱锥的定义可以推知,一个以n边形为底面的棱台,一共有2n顶点n+2个面以及3n条边。棱锥的对偶多面体双锥。棱锥的对称性取决于原来棱锥。如果原来的棱锥是正棱锥,那么棱台和正多边形有相同的对称结构(同构对称群)。

性质

体积

棱台的体积取决于两底面之间的距离(棱台的高),以及原来棱锥的体积。设为棱台的高,为棱台的上下底面积, 为棱台的体积。由于棱台是由一个平面截去棱锥的一部分(也就是和原来棱锥相似的一个小棱锥)得到,所以计算体积的时候,可以先算出原来棱锥的体积,再减去和它相似的小棱锥的体积。棱锥被平行于底面的平面所截时,截面的面积与底面面积的比,等于小棱锥和原棱锥的高的比的平方。假设原棱锥的高是,那么小棱锥的高是。也就是说:

所以:

棱台的体积等于原棱锥体积减去小棱锥的体积:

对于正棱锥,假设它的底面是正n边形,边长分别为ab,高是h,那么底面积是: 所以它的体积是:

表面积

棱台的侧面展开图是由各个梯形侧面组成的,展开图的面积,就是各个侧面的面积之和,也就是原棱锥的侧面积减去小棱锥的侧面积Sc

,其中是第 i 个侧面的面积。

棱台的表面积等于棱台的侧面积Sc加上底面积S。假设各个梯形侧面的高是hi,底边的长度是aibi,那么棱锥的侧面积:

体积公式

棱台或圆台的体积是原立体图形的体积减去被截去部分的体积:

B1 指一个底面的面积,B2指另一个底面的面积, and h1h2 指原顶点分别到两底面的面积。 考虑到

这个体积也可用平截头体的高 h = h2h1 与两底面面积的希罗平均数表达:

亚历山大里亚的希罗 推导出了这个公式并且凭借它遇到了虚数。

特别地, 圆台的体积是

π 等于 3.14159265...,'R1, R2 是两底面的半径

Pyramidal frustum.

底面为n边形的棱台的体积是

a1a2 是底面的边长。

表面积公式

对于一个正圆台,

Lateral Surface Area指侧面积,Total Surface Area指总面积,R1 and R2 为底面半径,s 为平截头体的斜高。 一个底面为正n边形的正棱台的表面积是

a1a2是两底面的边长。

参见

  • 金字塔:某些金字塔是棱台状建筑,大部分是四棱台;
  • 圆台:平行于圆锥底面的平面截圆锥,截面和底面之间的部分;
  • 棱锥:多边形的各个顶点与平面外一点相连得到的几何体
  • 平截头体:平行于锥体底面的平面截去锥体顶部后得到的几何体,分为棱台和圆台。
  • 双锥台
  • 锥体

链接


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