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开集本文重定向自 開集合

在数学上,特别是拓朴学中,开集是一个将实数上的开区间的概念进行抽象化后的一个抽象对象。一个简单的例子便是在中,我们可以简单的将中的开集定义成是:那些中集合,集合中的每一个点都有一个中的球包含着并同时被包含于集合内。(或者是说,一个集合是开集,如果这个集合没有包含着它的边界点)。然而,一般来说,一个开集也可以很抽象:一串集合列里面集合都能被称作是开集,只要这串集合列满足以下性质: (1) 任意数量的集合的并集还是在这个集合列中。(2) 有限数量的集合的交集还是在这个集合列中。(3) 所有集合所在的空间跟空集都要在这个集合列之中。上述的这些条件看起来非常宽松,以至于我们有很好的灵活性去选取开集。

开集的概念提供了一个基础的方式去描述点与点之间的“靠近程度”而不需要仰赖于距离的定义。

一旦我们找定好了开集,我们便可以开始应用开集去定义关于连续,连通还有紧致等性质的概念了。

满足的点着蓝色。满足的点着红色。红色的点形成了开集。红色和蓝色的点的并集是闭集。

定义

可以按不同的一般性程度来形式化开集的概念。

函数分析

Rn中点集是开集,如果在这个集合的所有点P都是内部点

欧几里得空间

维欧式空间的子集是开集,如果给定任何在中的点,存在一个实数使得,如果给定任何中点,有着从到它的欧式距离小于,则也属于。等价的说:如果所有中的点有包含在中的邻域,则是开集。

赋距空间

赋距空间的子集是开集,如果给定任何中的点,存在一个实数使得,如果给定任何中的点,有,则也属于

等价的说:如果所有中的点有包含在中的邻域,是开集。

这推广了欧几里得空间的例子,因为带有欧几里得距离的欧几里得空间也是度量空间。

拓扑空间

拓扑空间中,开集是一项基础性的概念。你可以从任意集合出发,再选取的某个特定的子集族,使中的集合都满足作为开集应有的每一性质。这样的子集族被叫做上的“拓朴”,而这个集合族的成员被叫做拓扑空间 的开集。

更精确地说:给定集合,给予一个集合串里面的每一个元素都是中的子集。这个集合串里面的元素可以被称为开集当他们满足以下性质:

  • 而且 ( 以及 都是开集)
  • 然后有 (开集的任意并集都是开集)
  • 然后有 (开集的任意有限交集都是开集)

开集的拓扑定义推广了度量空间定义:如果你从一个度量空间出发并如上述般定义开集,则所有开集的集合族将形成在这个度量空间上的拓扑。因此自然地,任何度量空间都是拓扑空间。(但有不是度量空间的拓扑空间。)

性质

  1. 空集是开集(注意空集也是闭集)。
  2. 定义拓扑的集合X既开又闭。
  3. 任意个开集的并集是开集。
  4. 有限个开集的交集是开集。

例子

  • 度量空间中,以点为中心,为半径的球体为开集,任意的开集包含以为中心,充分小的为半径的球体
  • 流形中的开集为子流形

用处

开集在拓扑学分支中有着基础的重要性。当定义拓扑空间和其他拓扑结构(处理邻近性与收敛此类概念,比如度量空间一致空间)时,都会用到开集的概念。

拓扑空间X的每个子集A都包含至少一个(可能为空)开集;最大的这种开集被叫做A内部。它可以通过取包含在A中的所有开集的并集来构造。

给定拓扑空间XY,从XY函数f连续的,如果在Y中的所有开集的前像是在X中的开集。映射f被叫做开映射,如果在X中的所有开集的Y中的开集。

实直线上的开集都是可数个不相交开区间的并集。

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注释

  1. ^ 开集等价于每个点都有一个邻域包含在该集合内。因此任意个开集的并集仍然保持上述性质。
  2. ^ 直观上,开集是不包含其边界的集合。而无限多开集的交集有可能收敛到包含边界的闭集。例如,三维欧式空间上以原点为中心的开球,半径为1.1、1.01、1.001、...,其交集为半径为1.0的闭球。

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