万维百科

类氢原子

类氢原子(hydrogen-like atom)是只拥有一个电子原子,与氢原子同为等电子体,例如,He+, Li2+, Be3+B4+等等都是类氢原子,又称为“类氢离子”。类氢原子只含有一个原子核与一个电子,是个简单的二体系统,系统内的作用力只跟二体之间的距离有关,是反平方有心力。这反平方有心力二体系统不需再加理想化,简单化。描述这系统的(非相对论性的)薛定谔方程解析解,也就是说,解答能以有限数量的常见函数来表达。满足这薛定谔方程的波函数可以完全地描述电子的量子行为。在量子力学里,类氢原子问题是一个很简单,很实用,而又有解析解的问题。所推演出来的基本物理理论,又可以用简单的实验来核对。所以,类氢原子问题是个很重要的问题。

称满足上述系统的薛定谔方程的波函数为单电子波函数,或类氢原子波函数。类氢原子波函数是单电子角动量算符 与其 z-轴分量算符 本征函数。由于能量本征值 跟量子数 无关,而只跟主量子数 有关。所以,类氢原子波函数可以由主量子数 角量子数 磁量子数 ,独特地决定。因为构造原理,还必须加上自旋量子数 。对于多电子原子,这原理限制了电子构型的四个量子数。对于类氢原子,所有简并的轨域形成了一个电子层;每一个电子层都有其独特的主量子数 .这主量子数决定了电子层的能量。主量子数也限制了角量子数 、磁量子数 、自旋量子数 的值域。

除了原子(电中性)以外,类氢原子都是离子,都带有正电荷量 ;其中,单位电荷量原子序数。离子像He+Li2+Be3+B4+、等等,都是类氢原子。

元素周期表中,第 IA 族的碱金属元素,其原子的最外电子层都有一个电子,而第二外层电子层的亚层,不论是 s 亚层或 p 亚层,凡是内中有电子的亚层.都已被填满。例如,元素有11个电子。电子排布 。最外层只有一个电子。第二外层的 亚层都已填满。元素有19个电子。电子排布为 。第二外层的 亚层都已填满。由于 亚层的轨域的能量较高,最外层唯一的一个电子的轨域是 。受到内层电子的紧密屏蔽,这最外层的电子只能感受到大约为一个质子的存在。有效原子序数是 1 。所以,这碱金属的单电子系统可以视为一个类氢原子系统。可以用原子序数为 1 的类氢原子波函数,来近似地表达这电子的量子态。

因为电子与电子之间的库仑相互作用,拥有多个电子的原子或离子没有解析解,必须用数值法来做量子力学计算,才能求得近似的波函数以及其它有关性质。由于哈密顿量的球对称性,一个原子的角动量 守恒。许多数值程序,开始于单电子算符 的本征函数的乘积。所计算出来的波函数的径向部分 有时会是数值列表或斯莱特轨域 (Slater orbitals) 。应用角动量偶合方法 (angular momentum coupling) ,可以设定 (或许也可以设定 )的多电子本征函数。

薛定谔方程解答

类氢原子问题的薛定谔方程为

其中,约化普朗克常数 是电子与原子核的约化质量 是量子态的波函数, 是能量,库仑位势

其中,真空电容率原子序单位电荷量 是电子离原子核的距离。

采用球坐标 ,将拉普拉斯算子展开:

猜想这薛定谔方程的波函数解 是径向函数 球谐函数 的乘积:

角部分解答

参数为天顶角和方位角的球谐函数,满足角部分方程

其中,非负整数 轨角动量角量子数磁量子数 (满足 )是轨角动量对于 z-轴的(量子化的)投影。不同的 给予不同的轨角动量函数解答

其中,虚数单位伴随勒让德多项式,用方程定义为

勒让德多项式,可用罗德里格公式表示为

径向部分解答

径向函数满足一个一维薛定谔方程:

方程左边的第二项可以视为离心力位势,其效应是将径向距离拉远一点。

除了量子数 以外,还有一个主量子数 。为了满足 的边界条件, 必须是正值整数,能量也离散为能级 。随着量子数的不同,函数 都会有对应的改变。按照惯例,规定用波函数的下标符号来表示这些量子数。这样,径向函数可以表达为

其中, 近似于玻尔半径 。假若,原子核的质量是无限大的,则 ,并且,约化质量等于电子的质量,广义拉格耳多项式,定义为

其中,拉格耳多项式,可用罗德里格公式表示为

为了要结束广义拉格耳多项式的递回关系,必须要求

知道径向函数 与球谐函数 的形式,可以写出整个量子态的波函数,也就是薛定谔方程的整个解答:

量子数

量子数 都是整数,容许下述值:

为什么 ?为什么 ?若想进一步知道关于这些量子数的群理论,敬请参阅氢原子量子力学

角动量

每一个原子轨域都有特定的角动量矢量 。它对应的算符是一个矢量算符 角动量算符的平方 的本征值是

角动量矢量对于任意方向的投影是量子化的。设定此任意方向为 z-轴的方向,则量子化公式为

因为 对易的 彼此是相容可观察量,这两个算符有共同的本征态。根据不确定性原理,以同时地测量到 的同样的本征值。

由于 互相不对易, 彼此是不相容可观察量,这两个算符绝对不会有共同的基底量子态。一般而言, 的本征态与 的本征态不同。

给予一个量子系统,量子态为 。对于可观察量算符 ,所有本征值为 的本征态 ,形成了一组基底量子态。量子态 可以表达为这基底量子态的线性组合 。对于可观察量算符 ,所有本征值为 的本征态 ,形成了另外一组基底量子态。量子态 可以表达为这基底量子态的线性组合:

假若,测量可观察量 ,得到的测量值为其本征值 ,则量子态概率坍缩为本征态 。假若,立刻再测量可观察量 ,得到的答案必定是 ,在很短的时间内,量子态仍旧处于 。可是,假若改为立刻测量可观察量 ,则量子态不会停留于本征态 ,而会概率地坍缩为 本征值是 的本征态 。这是量子力学里,关于测量的一个很重要的特性。

根据不确定性原理

的不确定性与 的不确定性的乘积 ,必定大于或等于

类似地, 之间, 之间,也有同样的特性。

自旋-轨道作用

电子的总角动量必须包括电子的自旋。在一个真实的原子里,因为电子环绕着原子核移动,会感受到磁场。电子的自旋磁场产生作用 ,这现象称为自旋-轨道作用。当将这现象纳入计算,自旋与角动量不再是保守的,可以将此想像为电子的进动。为了维持保守性,必须取代量子数 与自旋的投影 ,而以量子数 来计算总角动量。

精细结构

原子物理学里,因为一阶相对论性效应,与自旋-轨道耦合,而产生的原子谱线分裂,称为精细结构

非相对论性,无自旋电子产生的谱线称为粗略结构。类氢原子的粗略结构只跟主量子数 有关。可是,更精确的模型,考虑到相对论效应与自旋-轨道效应,能够分解能级的简并,使谱线能更精细地分裂。相对于粗略结构,精细结构是一个 效应;其中,原子序数精细结构常数

相对论量子力学里,狄拉克方程可以用来计算电子的波函数。用这方法,能级跟主量子数 、总量子数 有关,容许的能量为

稳定性

思考类氢原子稳定性问题,应用经典电动力学来分析,则由于库仑力作用,束缚电子会被原子核吸引,呈螺线运动掉入原子核,同时辐射出无穷大能量,因此原子不具有稳定性。但是,在大自然里这虚拟现象实际并不会发生。那么,为什么类氢原子的束缚电子不会掉入原子核里?应用量子力学,可以计算出类氢原子系统的基态能量大于某有限值,称这结果为满足“第一种稳定性条件”,即类氢原子的基态能量 大于某有限值::10

量子力学的海森堡不确定性原理 可以用来启发性地说明这问题,电子越接近原子核,电子动能越大。但是海森堡不确定性原理不能严格给出数学证明,有些特别案例不能满足第一种稳定性条件,因为 量度的是波函数的半宽度,而不是波函数集聚于原子核附近的程度,所以波函数可以拥有一定的半宽度,并且极度集聚于原子核附近,造成库仑势能趋于 ,同时维持有限的动能。

更详细分析起见,只考虑类氢原子系统,给定原子的原子序 ,原子的能量

其中, 为动能, 为势能, 为描述类氢原子系统的波函数 为位置坐标, 为积分体积。

应用索博列夫不等式,经过一番运算,可以得到能量最大下界为。

其中, 是能量单位里德伯,大约为13.6eV

总结,类氢原子满足第一种稳定性条件这结果。

参阅

注释

  1. ^ 为了方便运算,采用 、质量 、基本电荷 的单位制。

参考文献

  1. ^ French, A.P. Introduction to Quantum Physics. W.W. Norton & Company. 1978: pp. 542.
  2. ^ 狄拉克方程关于氢原子的解答 互联网档案馆存档,存档日期2008-02-18.
  3. ^ Lieb, Elliot. THE STABILITY OF MATTER:FROM ATOMS TO STARS (PDF). BULLETIN (New Series) OF THE AMERICAN MATHEMATICAL SOCIETY. 1990, 22 (1) [2014-09-30]. (原始内容存档 (PDF)于2013-12-19).
  4. ^ Lieb, Elliot. The stability of matter (PDF). Review of Modern Physics. 1976, 48: 553–569 [2014-09-30]. (原始内容存档 (PDF)于2015-02-20).
  • Tipler, Paul & Ralph Llewellyn (2003). Modern Physics (4th ed.). New York: W. H. Freeman and Company. ISBN 0-7167-4345-0
  • Griffiths, David J. Introduction to Quantum Mechanics. Upper Saddle River, NJ: Prentice Hall. 1995: 131-200. ISBN 0-13-111892-7.

本页面最后更新于2021-09-28 13:55,点击更新本页查看原网页。台湾为中国固有领土,本站将对存在错误之处的地图、描述逐步勘正。

本站的所有资料包括但不限于文字、图片等全部转载于维基百科(wikipedia.org),遵循 维基百科:CC BY-SA 3.0协议

万维百科为维基百科爱好者建立的公益网站,旨在为中国大陆网民提供优质内容,因此对部分内容进行改编以符合中国大陆政策,如果您不接受,可以直接访问维基百科官方网站


顶部

如果本页面有数学、化学、物理等公式未正确显示,请使用火狐或者Safari浏览器